Álgebra Linear e Geometria Analítica

Conhecimentos da disciplina de Matemática do ensino secundário.

A unidade curricular tem aulas de índole teórica e teórico-prática.  As aulas teóricas decorrem de forma essencialmente expositiva, abordando os temas previstos no programa, prevalecendo uma forte interação entre os conceitos e a sua aplicação concreta. As aulas teórico-práticas serão destinadas à resolução de problemas e casos práticos sob orientação do professor. Os exercícios serão realizados individualmente ou em pequenos grupos. O ensino da unidade curricular é complementado pelos períodos de atendimento aos alunos.

O ensino da Matemática em geral deve facilitar a comunicação matemática, o pensamento reflexivo, a aplicação de técnicas matemáticas à resolução de problemas, a análise crítica dos resultados obtidos, enfim a interdisciplinaridade. Um dos objetivos docentes da disciplina de Álgebra Linear e Geometria Analítica do 1º ano é o de proporcionar os fundamentos básicos dos métodos matemáticos, usualmente aplicados nas áreas de Engenharia, utilizados pelas diversas disciplinas da Licenciatura em Engenharia Biomédica.

Pretende-se que os alunos desenvolvam capacidades (competências) de manipulação algébrica e raciocínio independente e analítico e a capacidade de aplicação de conceitos matemáticos na resolução de problemas práticos.

1. Números Complexos (revisões)

2. Sistemas de equações lineares e matrizes

• Aplicação do estudo de sistemas de equações lineares na resolução de alguns problemas usualmente ligados à Engenharia Biomédica.
• Conceito de matriz
• Matrizes especiais (matriz linha, matriz coluna, matriz triangular, matriz diagonal, matriz escalar, matriz identidade, matriz transposta e matriz conjugada).                                                                               
• Operações com matrizes e algumas propriedades: adição de matrizes, multiplicação de um escalar por uma matriz e multiplicação de matrizes.
• Matrizes invertíveis.
• Notação matricial de um sistema de equações lineares.
• Característica de uma matriz. Cálculo da característica pelo método de eliminação de Gauss.
• Resolução de sistemas lineares pelo método de eliminação de Gauss.
• Sistemas com parâmetros. Discussão de sistemas com parâmetros.
• Matriz Inversa. Cálculo da matriz inversa pelo método de Gauss-Jordan.

3. Determinantes

• Introdução da noção de determinante.
• Determinante de segunda ordem: definição e propriedades.
• Determinante de terceira ordem: definição utilizando o desenvolvimento segundo a primeira linha; desenvolvimento segundo uma das linhas – “matriz dos sinais”. Regra de Sarrus.
• Determinante de ordem n; definição.
• Menores, menores complementares e complementos algébricos. Teorema de Laplace e sua generalização. Característica de uma matriz e ordem de menores.
• Cálculo do determinante de uma matriz à custa do determinante de uma matriz triangular obtida por eliminação de Gauss.
•  Aplicações dos determinantes: matriz adjunta e matriz inversa; sistemas de equações lineares. Regra de Cramer.

4. Valores próprios e vetores próprios

• Introdução do conceito de valor próprio e de vetor próprio de uma aplicação linear.
• Definição de valor próprio de uma aplicação linear T, vetor próprio de T associado a um valor próprio e espaço de T associado a um valor próprio.
• Representação matricial diagonal de uma aplicação linear. Conceito de matriz diagonalizável e matriz diagonalizante.
•  Polinómio característico e equação característica de uma matriz. Teorema de Cayley-Hamilton e algumas aplicações.

5. Geometria Analítica

NAO

Recomendada:

Caridade, Cristina M.R., Álgebra Linear e Geometria Analítica, DFM, ISEC, 2020.

e-MAIO (Módulos de Aprendizagem Interativa online) – https://dfmoodle.isec.pt/

MOODLE ISEC – Algebra Linear – https://dfmoodle.isec.pt/

Complementar:

Agudo, F.R. Dias, Introdução à Álgebra Linear e Geometria Analítica, Escolar Editora, Lisboa 1996.

Ferreira, Manuel Alberto, Álgebra Linear – Exercícios – Livro 1: Matrizes e determinantes, 2016, Edições Silabo. ISBN:9789726188506.

Marcos, Maria da Graça; Oliveira, Marisa João Guerra Pereira de; Barreiras, Alcinda Maria de Sousa, Álgebra linear e geometria analítica. Faro: Sílabas & Desafios, 2017. 251 p. ISBN 978-989-8842-15-2, Cota:3-1-141 (ISEC).

Monteiro, António, Matrizes, Coleção Dashofer, Learning & Higher Education, 2010.

Monteiro, António, Álgebra Linear – Espaços vetoriais e transformações lineares, Coleção Dashofer, Learning & Higher Education, 2010.

Strang, Gilbert– Introduction to Linear Algebra (fifth edition), 20016. Wellesley-Cambridge Press. ISBN:97809802332776.

Bibliografia NOVA:

MATLAB Linear Algebra. 1st. ed. Edition. César Pérez López. Springer. Apress. ISBN 13- 978-1484203231.