Análise Matemática II

Recomenda-se o domínio de algumas matérias das unidades curriculares de matemática (Análise Matemática I e Álgebra Linear) do 1.º ano.

Ao adquirir os conhecimentos do programa de Análise Matemática II (AM2) o aluno desenvolverá entre outras as competências de abstração, dedução, demonstração, algorítmicas e programação de métodos associados às matérias do programa de AM2 com uma componente de Matemática Computacional. 

Pretende-se que o aluno se aperceba da importância da Matemática e do seu papel estruturante enquanto ciência de base e ferramenta de suporte a um raciocínio lógico e estruturado indispensável às áreas da Engenharia Informática. Mostrar que é impossível resolver e programar corretamente um problema mal formulado, que possua ambiguidade nos seus termos ou para o qual não seja possível recolher os dados necessários. Uso de software de matemática (Matlab, CAS) como ferramenta auxiliar e de tratamento computacional dos assuntos tratados analiticamente e numericamente.

Em complemento às aulas (teóricas, teórico-práticas e práticas laboratoriais), onde os alunos são constantemente chamados à participação e desse modo não são de todo apenas e só aulas expositivas, os alunos também são incentivados e mesmo avaliados no tocante à sua atividade de participação a distância através de plataformas com valências de e-learning, isto é, esta unidade curricular de AM2 inclui em si uma componente de b-learning.
Ao longo do semestre são propostas atividades de aprendizagem e avaliação (trabalhos de programação e outros). Nos testes de avaliação algumas questões serão de programação sobre os assuntos do programa de AM2.

Pretende-se que o aluno se aperceba da importância da Matemática e o seu papel estruturante enquanto ciência de base e ferramenta de suporte a um raciocínio lógico e estruturado que é indispensável nas áreas da Engenharia. Mostrar que é impossível resolver e programar corretamente um problema mal formulado, que possua ambiguidade nos seus termos ou para o qual não seja possível recolher os dados necessários. 

As equações diferenciais (ED) apresentam-se como ferramentas essenciais na modelação matemática de muitos problemas da engenharia. Algumas serão estudadas analiticamente, numericamente e tratadas computacionalmente em paralelo com a formação de programação em Matlab. 

O aluno ao adquirir os conhecimentos a ministrar na unidade curricular de Análise Matemática II (AM2) desenvolverá competências de abstração, demonstração, aplicação, algorítmicas e programação de métodos associados às matérias do programa da unidade curricular e outras relacionadas: Equações Diferenciais (ED), Sistemas de Equações Diferenciais (SED); Modelação matemática de problemas de engenharia equacionados por ED e SED; Métodos numéricos para ED, SED, Interpolação Polinomial, Derivação e Integração Numérica; Cálculo Diferencial em IR^n; Integrais Múltiplos; Representação e Visualização 3D, Sistemas de Coordenadas: cartesianas, polares, cilíndricas e esféricas; Programação base e fundamental em Matlab e Programação de Interfaces Gráficas – App em Matlab.

1. Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
Definição, propriedades, campos direcionais e gráficos de soluções gerais e particulares. Equações Diferenciais (ED) de 1ª Ordem: ED de Variáveis Separáveis, ED Lineares de 1ª Ordem e outras a resolver computacionalmente através de funções do tipo dsolve (differential solve). Equações Diferenciais Lineares de Ordem n com Coeficientes Constantes: Equações Homogéneas e Completas; Wronskiano, Sistema Fundamental de Soluções, Equação característica e Método da variação de constantes arbitrárias. Equações diferenciais como modelos matemáticos de descrição/modelação de sistemas ou fenómenos físicos. Problemas de Valores Iniciais. Tratamento computacional em programas CAS e no Matlab.

2. Sistemas de Equações Diferenciais Lineares
Algoritmo de redução de ED lineares de ordem 2 para um sistema de 2 ED de 1ª ordem. Problemas de aplicação (sistemas dinâmicos), modelação matemática, resolução analítica e numérica.

3. Cálculo Diferencial em IR^n
Breves noções topológicas em IRn. Funções de várias variáveis: domínios, limites, continuidade, derivadas parciais, retas e planos tangentes, acréscimos e diferenciais, derivada da função composta, derivada direcional, gradiente, extremos simples e condicionados. Representação de curvas de nível e domínios em 2D, visualização 3D de superfícies simples e compostas e respetivo tratamento computacional em programas CAS e no Matlab.

4. Integrais Múltiplos
Integral duplo e integral triplo. Sistema de coordenadas: cartesianas, polares, cilíndricas e esféricas. Aplicações: cálculo de áreas, volumes de sólidos e centro de massa. Representação e visualização de sólidos e respetivo tratamento computacional recorrendo a programas CAS e ao Matlab.

5. Métodos Numéricos
5.1 Interpolação Polinomial: Polinómios. Definição de polinómio interpolador. Interpoladora de Newton das diferenças divididas. Interpolação linear, quadrática e cúbica (Spline). Extrapolação. Interpolação a duas dimensões. Ajustamento de curvas: Aproximação linear (Método dos mínimos quadrados); Aproximação polinomial (polyfit).
5.2 Métodos numéricos para EDO e Sistemas de EDO: Métodos de Euler e métodos de Runge-Kutta.
5.3 Derivação numérica: Fórmulas de diferenças finitas em 2 e 3 pontos: progressivas, regressivas e centradas.
5.4 Integração numérica: Regra dos trapézios e regra de Simpson aplicada a integrais duplos.

6. Programação em Matlab
Ao longo do semestre será dada formação essencial e fundamental de programação em Matlab. Exploração e utilização da Symbolic Math Toolbox do Matlab. Programação de métodos numéricos. Interfaces gráficas em Matlab – Apps em Matlab. Criação de aplicações para resolução automática de Derivadas e Integrais e resolução de problemas de aplicação modelados matematicamente por ED ou Sistemas de ED.

NAO

– Zill, D. A first course in differential equations with modeling applications. Thomson Learning. ISBN 0-534-37999-0. [3-11-53 (ISEC) – 11973]
– Burden, Richard L. &  J. Douglas. Numerical Analysis. Pws-Kent Publishing Company. ISBN 0-53491-585-X. [3-4-119 (ISEC) – 05133]
– Stephen J. Chapman (2019). Matlab programming for Engineers. 6th ed, Boston [etc.]. ISBN 978-0-357-03039-4. [1A-1-455 (ISEC) – 18818]
– Ross, S. Diffential Equations, McGraw Hill. ISBN 0-471-81450-4. [3-11-6 (ISEC) – 05176]
– I.E. Kreyszig. Advanced Engineering Mathematics. 7a. Edic., J. Wiley. ISBN 0-471-85824-2. [3-7-22 (ISEC) – 05590]
– Moler, Cleve. Numerical Computing with MATLAB, Mathworks. ISBN 0-89871-560-1. [3-4-23 (ISEC) – 13278]
– Grossman, Stanley I. Calculus. Sauders College Publishing. ISBN 0-03-096420-2. [3-2-183 (ISEC) – 08073]
– Stewart, J. Cálculo. Pioneira. Thomson Learning. ISBN 85-221-0236-8. [3-2-118 (ISEC)  – 11713]

Bibliografia complementar
– Fausett, Lauren V. Apllied Numerical Analysis Using Matlab, Prentice Hall
– Simmons, George F. Krantz, Steven G., Equações Diferenciais. Mc Graw Hill
– Correia, Arménio A. S. (2014). Sebenta de Análise Matemática II. ISEC.
– Gouveia, M.L & Rosa. P. (2006). Apontamentos das Aulas Teóricas – Capítulo 1 EDO. ISEC.