Matemática Aplicada

Recomenda-se o domínio de algumas matérias das unidades curriculares de matemática (Cálculo I, Cálculo II e Álgebra Linear) do 1.º ano da LEB-B.

Ao adquirir os conhecimentos do programa de Matemática Aplicada o aluno desenvolverá entre outras as competências de abstração, aplicação, algorítmicas e programação de métodos associados às matérias do programa de Matemática Aplicada com uma forte componente de Matemática Computacional.

Em complemento às aulas presenciais (teóricas e práticas laboratoriais), onde os alunos são constantemente chamados à participação e desse modo não são de todo apenas e só aulas expositivas, os alunos também são incentivados e mesmo avaliados no tocante à sua atividade de participação a distância através de plataformas com valências de e-learning, isto é, esta unidade curricular inclui em si uma componente de b-learning.

Pretende-se que o aluno se aperceba da importância da Matemática e o seu papel estruturante enquanto ciência de base e ferramenta de suporte a um raciocínio lógico e estruturado que é indispensável nas áreas da engenharia. Mostrar que é impossível resolver e programar corretamente um problema mal formulado, que possua ambiguidade nos seus termos, ou para o qual não seja possível recolher os dados necessários.

As equações diferenciais apresentam-se como o objeto de estudo principal da disciplina de Matemática Aplicada, enquanto peças essenciais na modelação matemática de muitos problemas da engenharia. Serão estudadas analiticamente, numericamente e tratadas computacionalmente em paralelo com a formação de programação em Matlab e pontualmente recorrendo a CAS (Geogebra, Maple e outros).

O aluno ao adquirir os conhecimentos a ministrar na unidade curricular de Matemática Aplicada desenvolverá competências de abstração, demonstração, aplicação, algorítmicas e programação de métodos associados às matérias do programa da unidade curricular e outras relacionadas: Equações Diferenciais (ED), Sistemas de Equações Diferenciais (SED); Modelação matemática de problemas de engenharia traduzidos por ED e SED; Métodos numéricos para ED e SED; Transformada de Laplace, Séries e Transformada de Fourier, Séries de funções que são aplicáveis a equações diferenciais e a outras áreas de engenharia; Derivação e Integração numérica; Introdução ao estudo das Equações com Derivadas Parciais; Método das Diferenças Finitas; Programação base e fundamental em Matlab e Programação de App em Matlab.

1. Equações Diferenciais Ordinárias
Definições e terminologias. Equações Diferenciais de 1ª Ordem: Equações de Variáveis Separáveis, Equações Homogéneas, Equações Lineares de 1ª Ordem; Equações de Bernoulli; Equações Diferenciais Totais Exatas. Equações Diferenciais Lineares de Ordem n com Coeficientes Constantes: Equações Homogéneas e Completas; Wronskiano, Sistema Fundamental de Soluções, Equação característica e Método da variação de constantes arbitrárias. Equações diferenciais como modelos matemáticos de descrição/modelação de sistemas ou fenómenos físicos. Problemas de Valores Iniciais.

2. Sistemas de Equações Diferenciais Lineares
Redução de equações diferenciais lineares de ordem n para um sistema de equações de 1ª ordem. Métodos matriciais de resolução de sistemas de equações diferenciais. Exponencial de Matrizes (e^{At}).

3. Transformada de Laplace
Definição, existência e propriedades. Tabela de Transformadas de Laplace. Funções Degrau Unitário (Heaviside) e Delta de Dirac. Transformada inversa. Convolução de funções e Transformada da convolução. Aplicação da Transformada de Laplace à resolução de equações diferenciais lineares de ordem n com coeficientes constantes e sistemas de equações diferenciais lineares. Problemas de Valores Iniciais

4. Séries, integral e transformada de Fourier
Séries de Taylor. Funções periódicas; Séries Trigonométricas. Séries de Fourier. Definição e convergência. Séries de Fourier de funções pares e ímpares. Séries de Fourier em intervalos da forma [0,L]. Séries de Fourier na forma Complexa. Transformada de Fourier na forma complexa.

5. Introdução às Equações de Derivadas Parciais (EDPs)
Equação de Laplace e de Poisson. Equação da onda. Equação do calor e da difusão. Classificação das EDPs de 2ª ordem em parabólicas, elípticas e hiperbólicas. EDPs e Séries de Fourier: método de separação de variáveis. Problemas diferenciais com condições de fronteira de Dirichelet e de Neumann.

6. Tópicos de Métodos Numéricos
Integração Numérica: Regra dos trapézios e Regra de Simpson. Derivação Numérica: Fórmulas das diferenças progressivas, regressivas e centradas. Métodos de Euler e de Runge-Kutta para Equações Diferenciais e Sistemas de Equações Diferenciais. Método das Diferenças Finitas para EDPs.

7. Programação em Matlab
Ao longo do semestre será dada formação essencial e fundamental de programação em Matlab. Exploração e utilização da Symbolic Math Toolbox do Matlab. Programação de métodos numéricos para Equações Diferenciais e Sistemas de Equações Diferenciais. Interfaces gráficas em Matlab – App. Criação de aplicações para resolução automática de Transformadas de Laplace, Transformadas de Fourier, Derivadas e Integrais e resolução de problemas modelados matematicamente por ED ou SED.

NAO

– Zill, D. A first course in differential equations with modeling applications. Thomson Learning. ISBN 0-534- 37999-0. [3-11-53 (ISEC) – 11973]
– Burden, Richard L. & J. Douglas. Numerical Analysis. Pws-Kent Publishing Company. ISBN 0-53491-585-X. [3-4-119 (ISEC) – 05133]
– Stephen J. Chapman (2019). Matlab programming for Engineers. 6th ed, Boston [etc.]. ISBN 978-0-357- 03039-4. [1A-1-455 (ISEC)- 18818]
– Ross, S. Diffential Equations, McGraw Hill. ISBN 0-471-81450-4. [3-11-6 (ISEC) – 05176]
– I.E. Kreyszig. Advanced Engineering Mathematics. 7a. Edic., J. Wiley. ISBN 0-471-85824-2. [3-7-22 (ISEC) – 05590]
– Moler, Cleve. Numerical Computing with MATLAB, Mathworks. ISBN 0-89871-560-1. [3-4-23 (ISEC) – 13278]
– Grossman, Stanley I. Calculus. Sauders College Publishing. ISBN 0-03-096420-2. [3-2-183 (ISEC) – 08073]
– Stewart, J. Cálculo. Pioneira. Thomson Learning. ISBN 85-221-0236-8. [3-2-118 (ISEC) – 11713]

Bibliografia complementar
– Fausett, Lauren V. Apllied Numerical Analysis Using Matlab, Prentice Hall
– Simmons, George F. Krantz, Steven G., Equações Diferenciais. Mc Graw Hill
– Correia, Arménio A. S. (2014). Sebenta de Matemática Aplicada. ISEC.
– Gouveia, M.L & Rosa. P. (2006). Apontamentos das Aulas Teóricas – Capítulo 1 EDO. ISEC.