Análise Matemática Aplicada I

Conhecimentos de Matemática adquiridos no ensino secundário.

A unidade curricular inclui aulas teóricas e teórico-práticas, com apresentação interativa dos conteúdos e promoção de momentos de participação ativa dos estudantes. São resolvidos exercícios individualmente ou em pequenos grupos, recorrendo a recursos digitais e software específico. Recomenda-se a utilização de computador pessoal.

Estudo do cálculo diferencial e integral de funções reais de variável real e das suas aplicações. Introdução ao estudo das equações diferenciais, das séries numéricas e das séries de potências.
Desenvolvimento da capacidade de interpretar e aplicar os conceitos estudados na resolução de exercícios e problemas, recorrendo, sempre que adequado, à utilização de software como o GeoGebra, o WolframAlpha e o MATLAB. Pretende-se ainda promover o rigor na interpretação, utilização e descrição dos conceitos matemáticos, bem como a capacidade de análise e resolução de problemas com recurso a ferramentas computacionais.

1. Funções reais de variável real
Propriedades de uma função real de variável real; funções trigonométricas e funções trigonométricas inversas; função exponencial e função logaritmo; funções hiperbólicas.

2. Cálculo diferencial
Propriedades da derivada de uma função real de variável real; derivação de funções compostas e de funções inversas; formas indeterminadas e regra de Cauchy; aproximação polinomial: acréscimos e diferenciais e polinómio de Taylor.

3. Primitivação de funções reais de variável real
Primitivação de funções reais de variável real. Primitivação imediata e por decomposição; métodos de primitivação: primitivação por partes, primitivação de funções racionais e primitivação por substituição.

4. Cálculo integral
Integral definido de uma função real de variável real; propriedades; teorema fundamental do cálculo; integração por partes e por substituição; aplicações do integral definido: área de uma região plana, volume de um sólido de revolução e comprimento de um arco de curva; integrais impróprios em intervalos ilimitados.

5. Introdução ao estudo das equações diferenciais
Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Equações lineares de primeira ordem e equações de variáveis separadas.

6. Introdução ao estudo das séries numéricas e das séries de potências
Propriedades de uma sucessão numérica; natureza e propriedades de uma série numérica; série de Dirichlet, série geométrica e série telescópica; condição necessária de convergência; convergência absoluta e convergência simples; série alternada, raio e intervalo de convergência de uma série de potências.

7. Componente de análise numérica
Aproximação e erro em cálculo numérico; métodos numéricos para a resolução de equações não lineares: método da bissecção e método de Newton-Raphson; interpolação polinomial; métodos numéricos de integração: regra dos trapézios e regra de Simpson; métodos numéricos para equações diferenciais: método de Euler.

Avaliação por exame: consiste na realização de uma prova única, cotada para 20 valores, a realizar na época normal ou na época de recurso.

A realização de provas orais complementares pode constituir um instrumento adicional de avaliação, sempre que tal se considere necessário para dissipar dúvidas ou esclarecer situações suscetíveis de levantar suspeitas de fraude ou plágio.

NAO