Análise Matemática II

Recomenda-se o domínio de algumas matérias das unidades curriculares de matemática (Análise Matemática I e Álgebra Linear) do 1.º ano.

Ao adquirir os conhecimentos do programa de Análise Matemática II (AM2) o aluno desenvolverá entre outras as competências de abstração, dedução, demonstração, algorítmicas e programação de métodos associados às matérias do programa de AM2 com uma componente de Matemática Computacional. 

Pretende-se que o aluno se aperceba da importância da Matemática e do seu papel estruturante enquanto ciência de base e ferramenta de suporte a um raciocínio lógico e estruturado indispensável às áreas da Engenharia Informática. Mostrar que é impossível resolver e programar corretamente um problema mal formulado, que possua ambiguidade nos seus termos ou para o qual não seja possível recolher os dados necessários. Uso de software de matemática (Matlab, CAS) como ferramenta auxiliar e de tratamento computacional dos assuntos tratados analiticamente e numericamente.

Em complemento às aulas (teóricas, teórico-práticas e práticas laboratoriais), onde os alunos são constantemente chamados à participação e desse modo não são de todo apenas e só aulas expositivas, os alunos também são incentivados e mesmo avaliados no tocante à sua atividade de participação a distância através de plataformas com valências de e-learning, isto é, esta unidade curricular de AM2 inclui em si uma componente de b-learning.
Ao longo do semestre são propostas atividades de aprendizagem e avaliação (trabalhos de programação e outros). Nos testes de avaliação algumas questões serão de programação sobre os assuntos do programa de AM2.

Pretende-se que o aluno se aperceba da importância da Matemática e o seu papel estruturante enquanto ciência de base e ferramenta de suporte a um raciocínio lógico e estruturado que é indispensável nas áreas da Engenharia. Mostrar que é impossível resolver e programar corretamente um problema mal formulado, que possua ambiguidade nos seus termos ou para o qual não seja possível recolher os dados necessários. 

As equações diferenciais (ED) apresentam-se como ferramentas essenciais na modelação matemática de muitos problemas da engenharia. Algumas serão estudadas analiticamente, numericamente e tratadas computacionalmente em paralelo com a formação de programação em Matlab. 

O aluno ao adquirir os conhecimentos a ministrar na unidade curricular de Análise Matemática II (AM2) desenvolverá competências de abstração, demonstração, aplicação, algorítmicas e programação de métodos associados às matérias do programa da unidade curricular e outras relacionadas: Equações Diferenciais (ED), Sistemas de Equações Diferenciais (SED); Modelação matemática de problemas de engenharia equacionados por ED e SED; Métodos numéricos para ED, SED, Interpolação Polinomial, Derivação e Integração Numérica; Cálculo Diferencial em IR^n; Integrais Múltiplos; Representação e Visualização 3D, Sistemas de Coordenadas: cartesianas, polares, cilíndricas e esféricas; Programação base e fundamental em Matlab e Programação de Interfaces Gráficas – App em Matlab.

1. Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
Definição, propriedades, campos direcionais e gráficos de soluções gerais e particulares. Equações Diferenciais (ED) de 1ª Ordem: ED de Variáveis Separáveis, ED Lineares de 1ª Ordem e outras a resolver computacionalmente através de funções do tipo dsolve (differential solve). Equações Diferenciais Lineares de Ordem n com Coeficientes Constantes: Equações Homogéneas e Completas; Wronskiano, Sistema Fundamental de Soluções, Equação característica e Método da variação de constantes arbitrárias. Equações diferenciais como modelos matemáticos de descrição/modelação de sistemas ou fenómenos físicos. Problemas de Valores Iniciais. Tratamento computacional em programas CAS e no Matlab.

2. Sistemas de Equações Diferenciais Lineares
Algoritmo de redução de ED lineares de ordem 2 para um sistema de 2 ED de 1ª ordem. Problemas de aplicação (sistemas dinâmicos), modelação matemática, resolução analítica e numérica.

3. Cálculo Diferencial em IR^n
Breves noções topológicas em IRn. Funções de várias variáveis: domínios, limites, continuidade, derivadas parciais, retas e planos tangentes, acréscimos e diferenciais, derivada da função composta, derivada direcional, gradiente, extremos simples e condicionados. Representação de curvas de nível e domínios em 2D, visualização 3D de superfícies simples e compostas e respetivo tratamento computacional em programas CAS e no Matlab.

4. Integrais Múltiplos
Integral duplo e integral triplo. Sistema de coordenadas: cartesianas, polares, cilíndricas e esféricas. Aplicações: cálculo de áreas, volumes de sólidos e centro de massa. Representação e visualização de sólidos e respetivo tratamento computacional recorrendo a programas CAS e ao Matlab.

5. Métodos Numéricos
5.1 Interpolação Polinomial: Polinómios. Definição de polinómio interpolador. Interpoladora de Newton das diferenças divididas. Interpolação linear, quadrática e cúbica (Spline). Extrapolação. Interpolação a duas dimensões. Ajustamento de curvas: Aproximação linear (Método dos mínimos quadrados); Aproximação polinomial (polyfit).
5.2 Métodos numéricos para EDO e Sistemas de EDO: Métodos de Euler e métodos de Runge-Kutta.
5.3 Derivação numérica: Fórmulas de diferenças finitas em 2 e 3 pontos: progressivas, regressivas e centradas.
5.4 Integração numérica: Regra dos trapézios e regra de Simpson aplicada a integrais duplos.

6. Programação em Matlab
Ao longo do semestre será dada formação essencial e fundamental de programação em Matlab. Exploração e utilização da Symbolic Math Toolbox do Matlab. Programação de métodos numéricos. Interfaces gráficas em Matlab – Apps em Matlab. Criação de aplicações para resolução automática de Derivadas e Integrais e resolução de problemas de aplicação modelados matematicamente por ED ou Sistemas de ED.

Em AM2 existem duas opções de avaliação, a saber:

1ª Opção: [avaliação contínua e periódica. Os alunos matriculados pela 1ª vez nesta UC, só podem aceder a esta opção se a presença às aulas for de pelo menos 75%]
» Testes/Exames com um peso de 60% - 12 valores numa escala de 0 a 20 valores
- Exame da Época Normal
- Exame da Época de Recurso
- Exame da Época Especial
» Trabalhos de programação e aplicação, atividades de aprendizagem e avaliação distribuída ao longo do semestre com um peso de 40% - 8 valores numa escala de 0 a 20 valores

2ª Opção: [avaliação por exame]
» Testes/Exames com um peso de 100%
- Exame da Época Normal
- Exame da Época de Recurso
- Exame da Época Especial

Para efeitos do cálculo da nota final, o aluno deverá ter no mínimo 5 (cinco) valores em exame (cotado para 20 valores) sobre toda a matéria lecionada do programa da unidade curricular.

As atividades de aprendizagem e avaliação distribuída ao longo do semestre (trabalhos de programação de Matemática Computacional) serão realizadas em grupo de 3 alunos no máximo, as quais devem ser submetidas apenas por um dos elementos do grupo (fazer o upload na plataforma de e-learning), onde deverá constar o nome de todos os elementos do grupo e respetivo número de aluno. Existem outros tipos de atividades que são realizadas individualmente. Os alunos terão de apresentar e defender os trabalhos/atividades que submeteram e a sua submissão em data posterior à definida para entrega poderá sofrer uma penalização. A avaliação dos trabalhos implica também a submissão da autoavaliação e heteroavaliação dos trabalhos e elementos do grupo de trabalho.

Os exames são realizados presencialmente (com possível recurso a computador se as condições o permitirem) e a nota final será a melhor das notas, com ou sem trabalhos e atividades, isto é,

Nota = Máximo(60%*Exame+40%Trab&At; 100%*Exame)

» Complemento extra de avaliação
i. No caso do aluno ser assíduo às aulas (aA), se for pontual e tiver uma atitude proativa, participativa e construtiva nas aulas:
se aA = 100%, então adicionar 1 valor à nota final
senão se 90% <= aA < 100%, então adicionar 0.75 valores à nota final
senão se 75% <= aA < 90% , então adicionar 0.5 valores à nota final
senão se 50% <= aA < 75%, então adicionar 0.25 valores à nota final

ii. Relativamente à assiduidade (aGF) às horas de gabinete e/ou participação ativa nos fóruns da página da disciplina de AM2 na plataforma moodle@isec, segundo as normas de participação nos fóruns temáticos da disciplina e durante o período de aulas:
se aGF = 100% das aulas a lecionar, então adicionar 1 valor à nota final
senão se 75% <= aGF < 100%, então adicionar 0.75 valores à nota final
senão se 50% <= aGF < 75%, então adicionar 0.5 valores à nota final

Se a nota final for superior a 18 valores, os alunos terão de submeter-se a uma prova suplementar (oral e/ou escrita), mas, se optarem por não realizar essa prova, então a nota final será de dezoito (18) valores.
A realização de orais complementares será outro instrumento de avaliação a ter em conta, sempre que se acharem necessárias para dissipar dúvidas e/ou casos suspeitos de fraude ou plágio nas avaliações efetuadas pelos alunos.
Considera-se aprovado na unidade curricular qualquer aluno que obtenha, por arredondamento, classificação final superior ou igual  a dez (10) valores.
Por não ser obrigatória a presença às aulas nesta unidade curricular e por existirem duas opções de avaliação, os alunos com o estatuto de trabalhador estudante regem-se pelo mesmo método de avaliação proposto para os restantes alunos.

NAO