Análise Matemática II

Conhecimentos de cálculo diferencial e integral de funções reais de uma variável real.

Nas aulas é feita a exposição teórica da matéria do programa da unidade curricular e a resolução de alguns exercícios de aplicação sobre os temas lecionados. As aulas teóricas têm um cariz mais expositivo, enquanto que as aulas teórico-práticas e práticas têm um cariz mais prático em que o objetivo principal é a discussão e resolução de exercícios pelos alunos, com o apoio do professor.

Compreender e aplicar os conhecimentos de cálculo diferencial e integral em IRⁿ, transformadas de Laplace (unilaterais), bem como séries numéricas e séries de potências. Resolver e interpretar problemas no contexto real. 

No fim desta unidade espera-se que o aluno saiba: explicar os conceitos, discutir e apresentar cada solução de problema de forma apropriada; resolver exercícios com autonomia crescente usando os assuntos tratados nas aulas e tópicos relacionados; encontrar e selecionar informação relevante de diferentes fontes, como monografias e internet.

1. Funções reais de várias variáveis reais e suas derivadas – Cónicas e superfícies quádricas. Noções de topologia em IRⁿ. Funções reais de várias variáveis reais: Domínio; Gráfico; Conjuntos de nível; Limites; Continuidade; Derivadas parciais de primeira ordem; Derivadas parciais de ordem superior; Diferenciabilidade; Derivada da função composta; Derivadas direcionais; Vetor gradiente e suas aplicações; Otimização – Extremos livres e condicionados.

2. Integrais múltiplos – Integrais duplos: Definição e interpretação geométrica; Cálculo do integral duplo em coordenadas cartesianas e polares; Aplicações. Integrais triplos: Definição e interpretação geométrica; Cálculo do integral triplo em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas; Aplicações.

3. Transformadas de Laplace – Definição de transformada de Laplace (unilateral). Função de ordem exponencial. Existência e propriedades da transformada de Laplace. Transformada de Laplace de derivadas de funções. Derivada de transformada de Laplace. Resolução de equações diferenciais ordinárias lineares, com condições iniciais, utilizando transformadas de Laplace.

4. Séries – Séries numéricas: Definição de soma parcial e de série numérica; Exemplos (série geométrica; série telescópica; série de Dirichlet); Propriedades; Condição necessária de convergência; Critérios de convergência de séries de termos não negativos. Séries alternadas e critério de Leibniz; Convergência simples e absoluta. Séries de funções: Definição de série de potências; Convergência; Séries de Taylor.

NAO

RODRIGUES, J. A. (2008). Curso de Análise Matemática – Cálculo em IRⁿ. Princípia (disponível na Biblioteca do ISEC: 3-2-347).

LARSON, R. E., HOSTETLER, R. P., & EDWARDS, B. H. (1998). Cálculo com geometria analítica – Volume 2. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos (disponível na Biblioteca do ISEC: 3-2-245; 3-2-249).

STEWART, J. (2001). Cálculo – Volume 2. São Paulo: Pioneira – Thomson Learning (disponível na Biblioteca do ISEC: 3-2-119; 3-2-153; 3-2-160; 3-2-278).

EDWARDS, C. H., & PENNEY, D. E. (1993). Elementary differential equations with boundary value problems. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall (disponível na Biblioteca do ISEC: 3-11-14).

SPIEGEL, M. R. (1965). Theory and problems of Laplace transforms: Schaum’s outline. New York: McGraw-Hill (disponível na Biblioteca do ISEC: 3-2-72).