Álgebra Linear

Conhecimentos da disciplina de Matemática do ensino secundário.

A unidade curricular tem aulas de índole teórica e teórico-prática. As aulas teóricas decorrem de forma essencialmente expositiva, abordando os temas previstos no programa, prevalecendo uma forte interação entre os conceitos e a sua aplicação concreta. As aulas teórico-práticas serão destinadas à resolução de problemas e casos práticos sob orientação do professor. Os exercícios serão realizados individualmente ou em pequenos grupos. O ensino da unidade curricular é complementado pelos períodos de atendimento aos alunos.

O ensino da Matemática em geral deve facilitar a comunicação matemática, o pensamento reflexivo, a aplicação de técnicas matemáticas à resolução de problemas, a análise crítica dos resultados obtidos, enfim a interdisciplinaridade. Um dos objetivos docentes da disciplina de Álgebra Linear do 1º ano é o de proporcionar os fundamentos básicos dos métodos matemáticos, usualmente aplicados nas áreas de Engenharia, utilizados pelas diversas disciplinas da Licenciatura em Engenharia Eletromecânica.

Pretende-se que os alunos desenvolvam capacidades (competências) de manipulação algébrica e raciocínio independente e analítico e a capacidade de aplicação de conceitos matemáticos na resolução de problemas práticos.

1. Números Complexos (revisões)

2. Sistemas de equações lineares e matrizes

• Aplicação do estudo de sistemas de equações lineares na resolução de alguns problemas usualmente ligados à Engenharia Eletromecânica.
• Conceito de matriz.
• Matrizes especiais (matriz linha, matriz coluna, matriz triangular, matriz diagonal, matriz escalar, matriz identidade, matriz transposta e matriz conjugada).
• Operações com matrizes e algumas propriedades: adição de matrizes, multiplicação de um escalar por uma matriz e multiplicação de matrizes.
• Matrizes invertíveis.
• Notação matricial de um sistema de equações lineares.
• Característica de uma matriz. Cálculo da característica pelo método de eliminação de Gauss.
• Resolução de sistemas lineares pelo método de eliminação de Gauss.
• Sistemas com parâmetros. Discussão de sistemas com parâmetros.
• Matriz Inversa. Cálculo da matriz inversa pelo método de Gauss-Jordan.

3. Espaços vetoriais

• Introdução do conceito de espaço vetorial a partir do conjunto de soluções de um sistema de equações lineares.
• Espaços vetoriais: definição e propriedades elementares.
• O espaço vetorial real R^n .
• Subespaços vetoriais. Classificação e caracterização de subespaços.
• Construção de subespaços: combinação linear; expansão linear; subespaço gerado por um conjunto de vetores; espaço de dimensão finita; intersecção, soma e reunião de subespaços.
• Dependência e Independência linear.
• Base de um espaço vetorial. Dimensão de um espaço vetorial. Mudança de base.
• Espaço das linhas; espaço das colunas e espaço nulo de uma matriz.

4. Determinantes

• Introdução da noção de determinante.
• Determinante de segunda ordem: definição e propriedades.
• Determinante de terceira ordem: definição utilizando o desenvolvimento segundo a primeira linha; desenvolvimento segundo uma das linhas – “matriz dos sinais”. Regra de Sarrus.
• Determinante de ordem n; definição.
• Menores, menores complementares e complementos algébricos. Teorema de Laplace e sua generalização. Característica de uma matriz e ordem de menores.
• Cálculo do determinante de uma matriz à custa do determinante de uma matriz triangular obtida por eliminação de Gauss.
• Aplicações dos determinantes: matriz adjunta e matriz inversa; sistemas de equações lineares. Regra de Cramer.

5. Valores próprios e vetores próprios

• Introdução do conceito de valor próprio e de vetor próprio de uma aplicação linear.
• Definição de valor próprio de uma aplicação linear T, vetor próprio de T associado a um valor próprio e espaço de T associado a um valor próprio. 
• Representação matricial diagonal de uma aplicação linear. Conceito de matriz diagonalizável e matriz diagonalizante.
• Polinómio característico e equação característica de uma matriz. Teorema de Cayley-Hamilton e algumas aplicações

NAO

Recomendada:

Caridade, C.M.R., (2021). Apontamentos de Álgebra Linear e Geometria Analítica, DFM, ISEC.

Caridade, C.M.R. (2021, 27 setembro). e-MAIO (Módulos de Aprendizagem Interativa online). https://dfmoodle.isec.pt/

Caridade, C.M.R. (2021, 27 setembro). MOODLE ISEC – Álgebra Linear. https://dfmoodle.isec.pt/

Marcos, M.G., Oliveira, M.J.G.P, Barreiras, A.M.S., (2017). Álgebra linear e geometria analítica. Faro: Sílabas & Desafios. ISBN 9789898842152. Cota: 3-1-141 (ISEC).

Complementar:

Dias Agudo, F.R., (1996). Introdução à Álgebra Linear e Geometria Analítica, Escolar Editora, Lisboa. ISBN: 9789725920503. Cota: 3-1-130 (ISEC).

Ferreira, M.A, (2016). Álgebra Linear – Exercícios – Livro 1: Matrizes e determinantes, Edições Silabo. ISBN:9789726188506. Cota: 3-1-109 (ISEC).

Monteiro, A., (2010). Matrizes, Coleção Dashofer, Learning & Higher Education. ISBN 978-9896420833.

Monteiro, A., (2010). Álgebra Linear – Espaços vetoriais e transformações lineares, Coleção Dashofer, Learning & Higher Education. ISBN: 9789896420819

Strang, G., (2016). Introduction to Linear Algebra (fifth edition). Wellesley-Cambridge Press. ISBN: 97809802332776.

Bibliografia NOVA:

López, C.P., (2014). MATLAB Linear Algebra. 1st. ed. Edition. Springer. Apress. ISBN: 9781484203224